Gönderen Konu: Modüler Aritmetik  (Okunma sayısı 863 defa)

0 Üye ve 1 Ziyaretçi konuyu incelemekte.

Çevrimiçi Honore

  • Administrator
  • Hero Member
  • İleti: 4223
Modüler Aritmetik
« : Ağustos 13, 2015, 01:20:08 ÖS »
8x + 2x ≡ 3 (mod 5) denkliğini sağlayan en büyük 2 basamaklı doğal sayı nedir?

Sayın Şamil Hocamız'ın çözümü:

http://i1224.photobucket.com/albums/ee362/vmhugo/Forum%20Pictures/uzrj.jpg
http://img822.imageshack.us/img822/3082/uzrj.jpg
---
Daha önce http://mathforum.org Ask Dr.Math'den sayın Dr.Anthony (many thanks to him) aşağıda birkaç eklemeyle çevirmeğe çalıştığım ve konuya yeni başlamış öğrenciler için yararlı olabilecek ayrıntılı bir çözüm yollamıştı (benzeri sorularda da kullanılabilecek bir yaklaşım olarak düşünülebilir). Onun altında da emin olamadığım için gönderip sorduğum kendi amatör çözümüm var. Belki zamanları olursa ilgilenebilecek sayın hocalarımızdan veya üyelerimizden da yorumlar yahut değişik çözümler gelebilir.

(8-5)x + (2 - 5)x ≡ 3 (mod 5)

3x + (-3)x ≡ 3 (mod 5)....(I)

x 'in herhangi bir tek değeri için (I) eşitliğinin sol tarafı sıfır olur.
x 'in herhangi bir çift değeri için (I) eşitliğinin sol tarafı 2(3x) olur....(II)

32 ≡ 4 (mod 5) ≡ (4 - 5) (mod 5) = (-1) (mod 5)

Böylece n,

çift olmak üzere (32)n ≡ 1 (mod 5) => (32)4 = 38 ≡ 1 (mod 5)

tek olmak üzere (32)n ≡ -1 (mod 5) => (32)5 = 310 ≡ -1 (mod 5) => 2(310) ≡ -2 (mod 5)

yazılabilir ve (II) nedeniyle 2(310) ≡ 3 (mod 5) olarak da gösterilebileceğinden 2(32)5 ≡ 3 (mod 5) olur.

Buna göre, 2(32)tek kuvvet ≡ 3 (mod 5) ve x/2 tek ise 2(32)x/2 ≡ 3 (mod 5) yazılır. Böylece, x/2 doğal tek sayı olacak şekilde büyük iki basamaklı x değeri gerektiğinden x'in çift ama 4 ile BÖLÜNEMEME şartı nedeniyle 98 bulunur.

Çözümün Aslı:

http://i1224.photobucket.com/albums/ee362/vmhugo/Forum%20Pictures/modular1.gif
http://img814.imageshack.us/img814/5195/modular1.gif


http://i1224.photobucket.com/albums/ee362/vmhugo/Forum%20Pictures/modular2.gif
http://img407.imageshack.us/img407/3466/modular2.gif