Son İletiler

Sayfa: [1] 2 3 ... 10
1
AKADEMİK / Limit - MacLaurin Serisi
« Son İleti Gönderen: Honore Bugün, 06:06:57 ÖS »
lim x → 0 [ (1 + x)1 / x - e ] / x = ?
https://scontent-vie1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/61085946_435226773957134_2287512913428086784_n.jpg?_nc_cat=110&_nc_ht=scontent-vie1-1.xx&oh=8acdad5c407187084f38ad552e4bf0c0&oe=5D563839
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=435226770623801&set=g.1174585619345646&type=1&theater&ifg=1

A = (1 + x)1 / x

lnA = (1 / x)ln(1 + x)

A = e(1 / x)ln(1 + x)

f(x) = [ ln(1 + x) ] / x

g(x) = ln(1 + x) ifadesi x = 0 için g(x) = g(0) + [ (x1) / 1! ]·g '(0) + [ (x2) / 2! ]·g ''(0) + ... + [ (xn) / n! ]· g(n)(0) MacLaurin Serisi olarak açılırsa;

g '(x) = 1 / (1 + x)

g ''(x) = -1 / [ (1 + x)2 ]

...

g(0) = 0, g '(0) = 1, g ''(0) = -1

g(x) = 0 + (x / 1)·1 + [ (x2) / 2  ](-1) + ...

g(x) = x - x2 / 2 + ...

f(x) = g(x) / x = 1 - x / 2 + ...

A = e1 - x / 2 + ...

lim x → 0 [ (1 + x)1 / x - e ] / x =

lim x → 0 (A - e) / x =

lim x → 0 [ e1 - x / 2 + ... - e ] / x ve devem eden 0 / 0 belirsizliği için L'Hopital Kuralı ile;

lim x → 0 (-1 / 2)[ e1 - x / 2 + ... - 0 ] / 1 =

(-1 / 2)lim x → 0 e1 - x / 2 + ... =

(-1 / 2)e1 - 0 + 0 - ... =

-e / 2

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/limit610.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%5B+(1%2Bx)%5E(1%2Fx)-e+%5D+%2F+x+as+x+goes+to+0
2
Sabaha karşı rüyama giren bu sorudaki ilk çözümümün yanlış olduğunu görüp tekrar düşündüm ama bu sefer de şıklarda olmayan bir sonuç çıkıyor. Zamanı olan hayırseverlerin dikkatine sunuyorum, şimdiden çok teşekkür ederim (Konu başlığını "Geometrik Yer - Çember" olarak belirlemiştim).


https://i.ibb.co/gPZyDpc/Bugs-Bunny.png

Analitik düzlemde;

B noktası orijin,

D(200, 0), E(300, 0), C(600, 0) noktaları x ekseni üzerinde,

Bir kenarı 100 metre olan ADE eşkenar üçgeni [DE] kenarı x ekseni üzerinde olmak üzere yerleştirilirse,

ABD = 60° - α

EAC = β - 60°

ACE = 120° - β olur.

ΔABD için Sinüs Teoremi ile 100 / sin(60° - α) = 200 / sinα yazılarak açılırsa;

sinα = 2[ (√3) / 2 ]·cosα - 2(1 / 2)·sinα

sinα = (√3)·cosα - sinα

2sinα = (√3)·cosα

tanα = (√3) / 2 ⇒ α = arctan[ (√3) / 2 ]....(I)   

ΔACD için Sinüs Teoremi ile; 100 / sin(120° - β) = 400 / sinβ yazılıp düzenlenirse;

sinβ = 4[ (√3) / 2 ]·cosβ + 4(1 / 2)·sinβ

sinβ = 2(√3)·cosβ + 2sinβ

0 = 2√3·cosβ + sinβ

0 = 2√3 + tanβ

tanβ = -2√3 ⇒ β = 180° - arctan(2√3)....(II)

(I) ve (II)'den α + β = arctan[ (√3) / 2 ] + 180° - arctan(2√3) ≈ 147°

Notlar:
1. ΔACE için Sinüs Teoremi ile 300 / sin(β - 60°) = 100 / sin(120° - β) yazılıp işlemler yapılırsa yine tanβ = -2√3 bulunur. Bu işlemler, ilgilenen öğrencilere ödev.

2. Açıklama yapmak isteyenler http://www.sorumvar.net/frm/konular/geometrik-yer-cember.7774/ adresinden yazabilirler çünkü bu forumda çözülemeyen yeni üye aktivasyonu ve mevcut üyelerin de erişim sorunu var.

3. A noktasının koordinatlarının bulunuşu:
A(200 + 100cos60°, 100sin60°)

A(250, 50√3)
3

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/trigon23.png
https://scontent-frt3-2.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/60888743_2071802393120274_5303297760219365376_n.jpg?_nc_cat=105&_nc_ht=scontent-frt3-2.xx&oh=2cae455c966019e7a4a2154c989aaeeb&oe=5D65F15F
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2071802379786942&set=gm.2747513278597353&type=3&theater&ifg=1

AEB = θ

AEC = 180° - θ

BCA = β

EAC = 180° - (180° - θ + β) = θ - β

ΔACE için Sinüs Teoremi ile 10 / sin(θ - β) = (√10) / sinβ yazılıp açılarak düzenlenirse;

(10 / √10)sinβ = sinθ·cosβ - sinβ·cosθ....(I)

tanθ = -1 / 3....(II) ise üçgendeki bir açı olduğundan 90° < θ < 180° yani analitik düzlemin II. bölgesindedir ve bu bölgede sinüs fonksiyonu pozitif....(III), kosinüs fonksiyonu ise negatiftir...(IV).

(II) eşitliğine uygun dik üçgenden (III) ve (IV) bilgileriyle sinθ = 1 / √(12 + 32) = 1 / √10....(V) ve cosθ = -3 / √(12 + 32) = -3 / √10....(VI)

(V) ve (VI) değerleri (I) eşitliğindeki yerlerine konursa;

(10 / √10)sinβ = (1 / √10)cosβ + (3 / √10)sin β

10sinβ - 3sinβ = cosβ

tanβ = 1 / 7 eşitliğine uygun dik üçgenden yine Pisagor Teoremi ile sinβ = 1 / √(12 + 72) = 1 / √50 = 1 / (5√2)
5
http://www.sorumvar.net/frm/konular/olasilik.7769/ adresinde çalıştığımız problemin çözümü için, ilgilenen öğrencilere Fortran uygulaması:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/olasil17.png


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/olasil15.png

Program:
Kod: [Seç]
program olasilik
implicit none
integer birler,onlar,yuzler,olasilik_pay,olasilik_payda,sayi
integer :: toplam1=0,toplam2=0,i=1,j=1,k
integer, dimension(543-112+1) :: sayi1,sayi2
integer::gcd,xgcd
real xolasilik

open (unit = 1, file = "olasilik.txt")

do birler=1,5
   do onlar=1,5
      do yuzler=1,5
     
         if ((birler==1).and.(onlar==1).and.(yuzler==1)) then
            cycle
         endif
         
         if ((birler==2).and.(onlar==2)) then
            cycle
         endif
         if ((birler==2).and.(yuzler==2)) then
            cycle
         endif
         if ((onlar==2).and.(yuzler==2)) then
            cycle
         endif
         
         if ((birler==3).and.(onlar==3)) then
            cycle
         endif
         if ((birler==3).and.(yuzler==3)) then
            cycle
         endif
         if ((onlar==3).and.(yuzler==3)) then
            cycle
         endif
           
         if ((birler==4).and.(onlar==4)) then
            cycle
         endif
         if ((birler==4).and.(yuzler==4)) then
            cycle
         endif
         if ((onlar==4).and.(yuzler==4)) then
            cycle
         endif
   
         if ((birler==5).and.(onlar==5)) then
            cycle
         endif
         if ((birler==5).and.(yuzler==5)) then
            cycle
         endif
         if ((onlar==5).and.(yuzler==5)) then
            cycle
         endif

         sayi=yuzler*100+onlar*10+birler*1
         
         if (Mod(sayi,3)==0) then
            toplam1=toplam1+1
            olasilik_pay=toplam1
            sayi1(i)=sayi
            i=i+1           
         else
            toplam2=toplam2+1
            olasilik_payda=toplam2
            sayi2(j)=sayi
            j=j+1
         endif
                       
      enddo 
   enddo
enddo       

write(1,4) "Sıra No   3'le Bölünen   3'le Bölünemeyen"

do k=1,j-1

   if (k<=i-1) then
      write(1,5) "  ",k,"           ",sayi1(k),"            ",sayi2(k)
   else
      write(1,6) "  ",k,"                          ",sayi2(k)
   endif     

enddo

xolasilik=real(olasilik_pay)/real(olasilik_pay+olasilik_payda)
print*,"olasilik = ", xolasilik
print*,"olasilik.txt dosyasina bakiniz."
print*,''
xgcd=gcd(olasilik_pay,olasilik_pay+olasilik_payda)
write(1, 7) "           Olasilik = ",olasilik_pay/xgcd,"/",(olasilik_pay+olasilik_payda)/xgcd

close(1)

4 format (a)
5 format (a,i2,2(a,i3))
6 format (a,i2,a,i3)
7 format (2(a,i1))

end program

!https://rosettacode.org/wiki/Greatest_common_divisor#Iterative_Euclid_algorithm_3
function gcd(v, t)
  integer :: gcd
  integer, intent(in) :: v, t
  integer :: c, b, a
 
  b = t
  a = v
  do
     c = mod(a, b)
     if ( c == 0) exit
     a = b
     b = c
  end do
  gcd = b ! abs(b) 
end function gcd

Programın verdiği liste ve sonuç:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/olasil16.png
6
İntegral / Belirli İntegralde Riemann Toplamı
« Son İleti Gönderen: Honore Mayıs 21, 2019, 10:26:55 ÖS »
7
Çember ve Daire / Çemberin ve Noktanın Analitiği - Pisagor Teoremi
« Son İleti Gönderen: Honore Mayıs 21, 2019, 05:05:35 ÖS »
x2 + y2 - 5x + 7y - 9 = 0 çemberinin içindeki A(1, -4) noktasından çizilen en kısa kirişin uzunluğu kaç birimdir?
https://scontent-mxp1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/60699289_1096733930528442_4541003806061625344_n.jpg?_nc_cat=101&_nc_ht=scontent-mxp1-1.xx&oh=927542b1cccbdce975184537d598104e&oe=5D5BC74A
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=1096733923861776&set=gm.2217545261671292&type=3&theater&ifg=1

x2 - 5x + 25 / 4 - 25 / 4 + y2 + 7y + 49 / 4 - 49 / 4 = 9

(x - 5 / 2)2 + (y + 7 / 2)2 = 110 / 4

Çemberin merkezi M(5 / 2, - 7 / 2) ve yarıçapı r = (√110) / 2 birim

Çemberde en kısa kirişin orta dikmesi merkezden geçeceğinden kirişin çemberi kestiği noktalarlın merkezle birleştirilmesinden meydana gelen iki eş dik üçgende Pisagor Teoremi ile;

2{ [ (√110) / 2 ]2 - [ (5 / 2 - 1)2 + (-7 / 2 + 4)2 ] }0,5 = 2[ (110 / 4 - 10 / 4)0,5 ] = 2√(100 / 4) = 2√25 = 2·5 = 10 birim
8
İntegral / İntegral - Türev - Polinom - Belirsiz Katsayılar Kuralı
« Son İleti Gönderen: Honore Mayıs 21, 2019, 04:14:03 ÖS »
y = f(x) bir polinom fonksiyonu olmak üzere f(x) + ∫ f(x) dx = x3 + x2 + 3x + 7 ise f(2) = ?
https://scontent-mxp1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/60483287_2070292433271270_1322559767767416832_n.jpg?_nc_cat=109&_nc_ht=scontent-mxp1-1.xx&oh=e838ca34c0f9e3f92dc777c6e4f6d426&oe=5D63CE51 (notasyonu hatalı)
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2070292429937937&set=gm.2743010505714297&type=3&theater&ifg=1

f '(x) + f(x) = 3x2 + 2x + 3 eşitliğinin sağlanabilmesi için f(x) = ax2 + bx + c gibi 2. derece bir polinom fonksiyonu olmalıdır.

2ax + b + ax2 + bx + c = 3x2 + 2x + 3

ax2 + (2a + b)x + b + c =  3x2 + 2x + 3 eşitliğinden Belirsiz Katsayılar Kuralı (Undetermined Coefficients Rule) ile;

a = 3

2a + b = 2 ⇒ b = 2 - 2·3 = -4

b + c = 3 ⇒ c = 3 - b = 3 - (-4) = 7

f(x) = 3x2 - 4x + 7

f(2) = 3(22) - 4·2 + 7 = 12 + 7 - 8 = 19 - 8 = 11
10
AKADEMİK / Bernoulli Diferansiyel Denkleminin - I. Mertebeden Lineer Denkleme İndirgenmesi
« Son İleti Gönderen: Honore Mayıs 21, 2019, 02:13:58 ÖS »

https://i.ibb.co/kHwXKQF/Bernoulli-Dif-Denklem.png
https://scontent-mxp1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/61122221_308808293375268_5346467979750014976_n.jpg?_nc_cat=109&_nc_ht=scontent-mxp1-1.xx&oh=ada0a2929076e338fb663112902caa96&oe=5D6C1EB2
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=308808290041935&set=gm.2218567008235784&type=3&theater&ifg=1 (daha kısa çözüm)

Bu problemin lise programı kapsamında bir soru haline getirilmesine hayret ediyorum.

y = f(x)

dy / dx = f '(x)

x(dy / dx) + y + 3(x2)(y2) = 0

dy / dx + y / x = -3x(y2)

[ y-2 ](dy / dx) + (1 / x)(1 / y) = -3x....(I)

u = 1 / y....(II) ⇒ du / dx = -[ y-2 ](dy / dx)....(III)

(II) ve (II) ifadeleri (I) denklemindeki yerlerine yazılarak Bernoulli Diferansiyel Denklemi, Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denkleme dönüşür:

-du / dx + u / x = -3x

du / dx - u / x = 3x....(IV)

(IV) denkleminin çözümü için u = k·v....(V) değişken dönüşümü yapılarak x değişkenine göre türev alınırsa; du / dx = k(dv / dx) + v(dk / dx)....(VI)

(VI) ifadesi (IV) eşitliğinde kullanılırsa k(dv / dx) + v(dk / dx) - k·v / x = 3x haline gelip düzenlenerek;

k(dv / dx - v / x) + v(dk / dx) = 3x....(VII)

(VII) denkleminin çözülebilmesi için dv / dx - v / x = 0 durumunda dv / v = dx / x ⇒ ln(v) = ln(x) ⇒ v = x....(VIII)

(VIII) ifadesiyle (VII) denklemi k·0 + x(dk / dx) = 3x ⇒ dk / dx = 3 ⇒ dk = 3dx ⇒ k = 3x + c....(IX) olur (c ∈ R).

(VIII) ve (IX) ifadeleri (V)'e taşınarak; u = (3x + c)x = 3x2 + c·x....(X)

(X) ifadesi de (II) eşitliğinde sağ tarafta paydadaki yerine konulup; 3x2 + c·x = 1 / y ⇒ y = f(x) = 1 / (3x2 + c·x)....(XI)

f(2) = 1 / 2 eşitliği (XI) için yazılırsa 1 / 2 = 1 / (3·4 + 2c) ⇒ 12 + 2c = 2 ⇒ 2c = -10 ⇒ c = -5....(XII)

(XII) değeriyle (XI) denkleminin tam çözümü y = f(x) = 1 / (3x2 - 5x) olup f(1) = 1 / [ 3·(12) - 5·1 ] = -1 / 2 bulunur.
Sayfa: [1] 2 3 ... 10